Тригонометрические функции числового аргумента и их свойства

Понятие о sin a, cos а, tg а, ctg а как выражения без применения термина «функция» впервые вводятся в курсе геометрии 8 класса. В этом классе приходятся утверждение об изменении синуса, косинуса и тангенса с ростом угла. Итак, ученики убеждаются в том, что существует зависимость между градусной мере угла а и значениями sin a, cos а, tgoc и эта зависимость является функциональной.

Радианная мера углов и дуг

Прежде чем вводить понятие тригонометрической функции числового аргумента, целесообразно подробнее, рассмотреть понятие «Радианная мера угла» на www.kvn201.com.ua/table-of-cotangents.htm. Нужно объяснить причину ее введения, специфику и преимущества перед другими системами измерения углов. Можно напомнить ученикам о разных системах измерения углов.
Практика показывает, что вывод формул перехода от градусной меры угла к радианной и наоборот не приводит труда у учащихся. Ошибок они допускают, в основном заокругляя приближенные значения, полученные при применении упомянутых формул.

Введение понятия тригонометрических функций числового аргумента

Прежде всего нужно вспомнить определение тригонометрических функций угла и распространить их на любую градусную меру, ввести угол поворота. Кроме того, следует убедить учеников, что существует соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек единичного круга, для чего предварительно выполнить такое упражнение. Чтобы ученики легче запомнили значения тригонометрических функций для некоторых углов, целесообразно использовать модель тригонометра.

Преобразование тригонометрических выражений

Для тождественных преобразований тригонометрических выражений необходимые знания формул и умение ими пользоваться. Запоминания и применения тригонометрических формул облегчается, если вводить формулы группам:

- соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента;
- формулы сложения, формулы удвоенного аргумента;
- формулы половинного аргумента (формулы понижения степени);
- формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций на произведение;
- формулы преобразования произведения тригонометрических функций на сумму;
- выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента (универсальная тригонометрическая подстановка).

Целесообразно подчеркнуть, что, например, сумма (разница) синусов или косинусов преобразуются в произведение, а в формулах половинного аргумента - аргумент увеличивается вдвое, а степень уменьшается вдвое. Ученикам полезно иметь на карточке, или на последней странице тетради, а еще лучше - на обратной стороне тригонометра эти формулы. Минимум формул можно записать следующим блокам.

Изучение свойств тригонометрических функций. Прежде чем изучать свойства тригонометрических функций, предварительно нужно доказать их периодичность и, пользуясь определением и этим свойством, построить графики. Графики позволяют выявить другие свойства, а затем обосновать их аналитически.